三角函数公式大全，从基础到进阶的数学工具箱

在数学与工程领域，三角函数是描述周期现象的核心工具，而掌握其公式体系是解决问题的关键，本文系统梳理三角函数公式大全，涵盖同角关系、和差变换、倍角半角、积化和差等十大类公式，配以典型例题与记忆口诀,助您构建完整的三角函数知识网络。

同角三角函数基本关系

和差角公式

正弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
余弦公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
正切公式：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ) 应用实例：化简sin(π/3+π/6)=sinπ/3cosπ/6+cosπ/3sinπ/6=(√3/2)(√3/2)+(1/2)(1/2)=1。

倍角与半角公式

二倍角公式：
- sin2α=2sinαcosα
- cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
半角公式（需注意符号）：
- sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
- cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2] 典型例题：求cos15°时，可用cos(45°-30°)或cos(30°/2)两种路径验证结果。

积化和差与和差化积

积化和差：
- sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
- cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2
和差化积：
- sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
- cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 应用场景：在傅里叶级数展开中,此类公式可简化复杂三角函数的计算。

万能公式与辅助角公式

万能公式：设t=tan(α/2)，则
- sinα=2t/(1+t²)
- cosα=(1-t²)/(1+t²)
辅助角公式：a sinα + b cosα = √(a²+b²) sin(α+φ)，其中tanφ=b/a 工程应用：交流电分析中,常将正弦波转化为单一三角函数形式。

诱导公式与周期性掌握"奇变偶不变，符号看象限"的口诀，可快速处理如sin(π+α)=-sinα、cos(2π-α)=cosα等变换，结合周期2π（弧度制）或360°（角度制）,可推导任意角度的三角函数值。

特殊角速查表 0°、30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值需烂熟于心，如sin0°=0、cos90°=0、tan45°=1,这些是推导其他公式的基础。

反三角函数公式 arcsin、arccos、arctan等反函数公式在解方程时尤为重要，如arcsin(sinα)=α（α∈[-π/2,π/2]）。

降幂公式与高次公式通过倍角公式可推导sin²α=(1-cos2α)/2、cos²α=(1+cos2α)/2等降幂公式,在积分计算中广泛应用。

综合应用与拓展在解析几何中，直线斜率与角度的关系tanθ=k；在波动方程中，三角函数组合描述波形叠加，掌握这些公式，能高效解决数学竞赛、物理建模中的复杂问题。

三角函数公式大全犹如数学宝库的钥匙，掌握这些公式需理解其推导逻辑而非单纯记忆，建议通过"公式树"思维导图建立知识联系，结合典型例题进行实战演练，当您能灵活运用sin(α+β)与积化和差公式相互推导时,便真正实现了从知识积累到能力提升的跨越。